Тема урока:
Область определения
функции
(9 КЛАСС)
Учитель: Курмакаева Р.И.
Тип урока: Урок формирования и совершенствования знаний.
Цели урока:
1.
Повторить и
закрепить сведения о функциях, известных обучающимся из курса алгебры 7 и 8
классов; обогатить знания; установить связи между теорией и практикой, обучить
нахождению области определения функции, заданной формулой.
2.
Научить
анализировать, наблюдать и делать выводы; развивать навыки исследования
функции.
3.
Содействовать
рациональной организации труда; воспитывать сознательное отношение к учебному
труду; Развивать творческие способности; самостоятельность.
Структура
урока:
Ø
Организационный
этап.
Ø
Проверка
домашнего задания, воспроизведение и коррекция опорных знаний обучающихся.
Ø
Сообщение темы,
постановка цели и задач урока.
Ø
Актуализация
знаний.
Ø
Введение новых
знаний
Ø
Воспроизведение
знаний и овладение обучающимися способами деятельности.
Ø
Первичный
контроль усвоения.
Ø
Обобщение и
систематизация.
Ø
Определение и
разъяснение домашнего задания.
Оборудование: таблицы, рисунки с изображением графиков функций,
карточки для самостоятельной индивидуальной работы, выставка книг по изучаемому
материалу, рисунки по теме: «Функции вокруг нас».
Ход урока:
I.
Организационный
этап.
II.
Проверка
домашнего задания, воспроизведение и коррекция опорных знаний обучающихся.
Дома нужно было повторить все основные
сведения о функциях, изученных в 7 и 8 классах. Итак, о функции, способах ее
задания, о ее графике расскажет нам … (Ответы учащихся).
С какими функциями мы уже знакомы?
(Учащиеся по очереди рассказывают о прямой пропорциональности, линейной и
квадратичной функции, демонстрируя чертежами).
Коррекция знаний обучающихся. Рассказать еще
об одном способе задания функции – словесном. Привести примеры функций,
окружающих нас.
III.
Сообщение темы,
постановка цели и задач урока.
Этой главой завершается изучение функций,
представленных в школьном курсе
алгебры основной школы. Понятие «Функция» – один из 4-х «китов», на которых
держится алгебра. Чтобы успешно усвоить алгебру, нужно очень хорошо знать
функции, их свойства. Сегодня мы познакомимся с одним из главных свойств
функции – областью определения, научимся находить области определения различных
функций.
IV.
Актуализация
знаний.
На
доске записано несколько выражений, Какие из них являются функциями?
(Подчеркнуть)
Ø
2вх; х2 = 25; у=5х; у = ах2 + вх + с; √3 = 5х; у=√х-1;
у = √х + 4;
√у+5х; у =
; у=
; у =
Теперь
внимательно посмотрите на каждую функцию, какие значения может принимать
аргумент в каждом случае? (анализ,
коррекция ответов).
V.
Введение новых
знаний.
Значит,
функции отличаются тем, что определяются на разных числовых множествах. Вообще областью определения функции
называют множество всех значений, которые может принимать ее аргумент (записывают определение в тетради, несколько учащихся повторяют определение).
VI.
Воспроизведение
знаний и овладение учащимися способами деятельности.
а)
Образцы решения ключевых задач показывает учитель.
Найти
область определения функции, заданной формулой, - это значит найти все значения
аргумента, при которых формула имеет смысл.
Найти область определения функции:
Ø
У(х) = 2х2 + 3х + 5; т.к. выражение 2х2 + 3х + 5 имеет смысл при любом х, то функция
определена при всех х.
Ответ: х- любое число.
Ø
У(х) = √х-1; выражение √х-1 имеет
смысл при х – 1 ≥ 0, т.е. функция определена при х ≥ 1.
Ответ:
х≥ 1.
Ø
У(х) =
; выражение
имеет смысл при х
х+2
т.е.
функция определена при х
2
Ответ:
х
2.
Ø
У(х) =
; выражение
имеет смысл при
Решим неравенство методом интервалов:
получаем: х
и х
, т.е функция определена при х
и х
Ответ: х
и х
б) Решение упражнений из тренажерной таблицы с комментированием у
доски. (5-6 заданий разной сложности).
в) Решение упражнений из учебника № 158 (устно)
г) Самостоятельная работа по тренажерной таблице.
Резерв. Из истории понятия «функция»
VII.
Контроль
усвоения, обсуждение ошибок и их коррекция.
При проверке самостоятельной работы, я
заметила следующие ошибки:
(перечислить ошибки, к коррекции
привлечь учащихся)
VIII.
Обобщение и
систематизация знаний.
Что
мы с вами повторили на уроке? Какие новые знания приобрели?
Что
вам больше всего запомнилось?
IX.
Определение и
разъяснение домашнего задания.
12 параграф, 65-66 стр., № 159, 161 – по
желанию. Придумать примеры на нахождение области определения функции для
одноклассников.
Приложение 2.
Из истории понятия «функция»
Давайте включим самую удивительную и
совершенную аппаратуру – наше воображение, и – в путь! В путешествие через века
и страны в поиск функции.
Под палящим южным солнцем в глинистых
долинах рек Тигр и Евфрат издавна жили люди. Жители Двуречья делали плоские
плитки из глины и писали на них (еще влажных) заостренной палочкой. Для нас
особенно интересны математические плитки – таблички. Во первых, там были
таблицы обратных величин для многих натуральных п, во вторых там были таблицы квадратов и кубов чисел и т.д. Таким
образом, в табличной форме были записаны функции вида f (х) =
, g(х)= х 2 . Все это
говорит о том, что вавилоняне были знакомы с некоторыми функциями, но у них не
было общего понятия, обозначений.
В 538 году до н.э. Вавилон был захвачен
персами. Та же участь постигла и Египет. Затем персы напали на Грецию. Но они
объединились и одержали победы над персами. После победы заново отстраиваются
Афины. Наступает рассвет искусств и науки. К 1 веку новой эры Александрийская
библиотека насчитывала более 700 000 рукописей.
Математика Греции значительно отличалась
от математики Вавилона. Все то, что сейчас составляет содержание школьного
курса геометрии, было открыто греками. Вычисляли площадь круга и длину
окружности, умели решать квадратные уравнения, вычислять объемы. Запас функций
у греков был богаче. Греки изучали свойство этих функций, составляли таблицы и
т.д. Но в ней тоже не было общего понятия функции, обозначений конкретных
функций.
Шло время. Греция попала под власть Рима.
Затем пала Римская империя. Наступало средневековье. Центрами грамотности в
Европе стали монастыри. Для обучения
молодых людей латыни и богословию создавались университеты.
К началу14 века в Европе уже
было несколько университетов. В это время во Франции жил замечательный
математик Никола Орем. Все величины, по
Орему, имеют интенсивности и экстенсивности. Интенсивности находятся в
зависимости от экстенсивностей. Например, скорость движения тела зависит от
времени. Замечательные работы Орема были
известны широко. Однако они мало повлияли на развитие математики.
Со времени Орема прошло 3 столетия. Огромные перемены
прошли за это время. Это была эпоха великих географических открытий.
Трудами Коперника, Кеплера, Галилея была
создана новая астрономия. Ньютон открыл закон всемирного тяготения, он создал
новую механику. В результате стало возможным вычислять движение тел с
немыслимой ранее точностью. Были изобретены часы с маятником, барометр и
термометр. При конструировании машин и приборов все больше использовалась
математика. Были получены многочисленные функциональные зависимости между
различными физическими величинами. Все это требовало развития методов
исследования функций. Ученые изучали труды греческих математиков, чтобы
двинуться дальше и создать новую математику.
Одним из создателей новой математики был
великий немецкий ученый Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716). За свою жизнь
он успел сделать невероятно много. В студенческие годы он изучал философию и
право. Математикой занялся он гораздо позже, изучал труды известных математиков
и пошел дальше своих предшественников. Трудно даже перечислить все области
науки и техники, в которые Лейбниц внес заметный вклад.
Именно
Лейбниц ввел в математику слово «функция» (от латинского « functio» –
исполнение обязанностей, деятельность). Но что понимал Лейбниц под функцией?
Вот отрывок его статьи (1694г): «Я называю функциями всякие части прямых линий,
которые получают, проводя бесчисленные прямые, соответствующие неподвижной
точке и точкам кривой».
Таким образом, в термин
«функция» Лейбниц вкладывал смысл, отличный от нашего. Можно сказать, что у
Лейбница было предчувствие понятия функции. Таким образом, имя «функция» уже
появилось на свет в 1694 году, но современного смысла оно еще не имело.
Первыми учениками Лейбница стали братья
Бернулли –Якоб и Иоганн. Младший, Иоганн и дал первое в истории математики
определение функции(1718г.): «Функцией
переменной величины называется количество, составленное каким угодно способом
из этой величины и постоянных».
Еще Лейбниц (а в Англии – И. Ньютон)
разработал методы исследования функций: нахождение интервалов возрастания и
убывания, разыскание наибольшего и наименьшего значения и т.д.. Теперь, с
появлением определения функции и подходящих обозначений, исследование функции
значительно облегчилось.
Остановимся еще немного на определении
функции, данном Бернулли. Что Бернулли понимал под словами: «Количество, составленное
каким угодно способом из этой величины и постоянных». Ясно, что «какой угодно
способ» здесь означает совокупность математических операций, выполняемых над
независимой переменной и постоянными.
Иначе говоря, определению Бернулли удовлетворяют функции, заданные
аналитически.
Три страны – Швейцария,
Россия и Германия – считают великого Леонардо Эйлера своим математиком.
Размышляя о понятии функции, Эйлер постарался дать определение, которому
удовлетворяли бы все функции, заданные аналитически. Вот определение Эйлера:
«Когда некоторые количества
зависят от других таким образом, что при изменении последних сами они
подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых»
Эйлер же ввел для функции
обозначение f (х). В своих книгах Эйлер
изложил все известные к тому времени методы исследования функций. Многие из них
разработал он сам. Эти методы излагаются и в современных учебниках
математического анализа.
В конце Х1Х века на сцену
выходит новая область математики – теория множеств. Подобно тому, как всякое
здание покоится на фундаменте, современная математика строится на базе теории
множеств. Определение функции принимает такой вид: «Пусть Х и У 2 множества. Если каждому значению х из множества Х
сопоставлено единственное значение из множества у из множества У, то такая
зависимость переменной х от переменной у называется функцией из Х в У.
Множество Х называется областью определения, а множество У – областью значений
функции».
Так что же – математика нашла
окончательное, последнее определение функции? Мы бы не хотели формулировать
столь категорическое утверждение.
Вспомним вавилонские плитки. Во первых, там были
таблицы обратных величин для многих натуральных п, во вторых там были таблицы
квадратов и кубов чисел и т.д. Все это говорит о том, что вавилоняне были
знакомы с некоторыми функциями, но у них не было общего понятия, обозначений.
Математика Греции значительно отличалась
от математики Вавилона. Все то , что сейчас составляет содержание школьного
курса геометрии, было открыто греками. Вычисляли площадь круга и длину
окружности, умели решать квадратные уравнения, вычислять объемы. Запас функций
у греков был богаче. Греки изучали свойство этих функций, составляли таблицы и
т.д. Но в ней тоже не было общего понятия функции, обозначений конкретных
функций.
К началу14 века в Европе уже было несколько
университетов. В это время во Франции жил замечательный математик Никола Орем. Все величины, по Орему, имеют
интенсивности и экстенсивности. Интенсивности находятся в зависимости от
экстенсивностей. Например, скорость движения тела зависит от времени. Замечательные работы Орема были известны
широко. Однако они мало повлияли на развитие математики.
Трудами Коперника, Кеплера, Галилея была
создана новая астрономия. Ньютон открыл закон всемирного тяготения, он создал
новую механику. В результате стало возможным вычислять движение тел с
немыслимой ранее точностью. Были изобретены часы с маятником, барометр и
термометр. При конструировании машин и приборов все больше использовалась
математика. Были получены многочисленные функциональные зависимости между
различными физическими величинами. Все это требовало развития методов
исследования функций. Ученые изучали труды греческих математиков, чтобы
двинуться дальше и создать новую математику.
Одним из создателей новой математики был
великий немецкий ученый Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716). За свою жизнь
он успел сделать невероятно много. В студенческие годы он изучал философию и
право. Математикой занялся он гораздо позже, изучал труды известных математиков
и пошел дальше своих предшественников. Трудно даже перечислить все области
науки и техники, в которые Лейбниц внес заметный вклад.
Именно
Лейбниц ввел в математику слово «функция» (от латинского « functio» –
исполнение обязанностей, деятельность). Но что понимал Лейбниц под функцией?
Вот отрывок его статьи (1694г): «Я называю функциями всякие части прямых линий,
которые получают, проводя бесчисленные прямые, соответствующие неподвижной
точке и точкам кривой».
Таким образом, в термин
«функция» Лейбниц вкладывал смысл, отличный от нашего. Можно сказать, что у
Лейбница было предчувствие понятия функции. Таким образом, имя «функция» уже
появилось на свет в 1694 году, но современного смысла оно еще не имело.
Первыми учениками Лейбница стали братья
Бернулли –Якоб и Иоганн. Младший, Иоганн и дал первое в истории математики
определение функции(1718г.): «Функцией
переменной величины называется количество, составленное каким угодно способом
из этой величины и постоянных».
Еще Лейбниц (а в Англии – И. Ньютон)
разработал методы исследования функций: нахождение интервалов возрастания и
убывания, разыскание наибольшего и наименьшего значения и т.д.. Теперь, с
появлением определения функции и подходящих обозначений, исследование функции
значительно облегчилось.
Остановимся еще немного на определении
функции, данном Бернулли. Что Бернулли понимал под словами: «Количество,
составленное каким угодно способом из этой величины и постоянных». Ясно, что
«какой угодно способ» здесь означает совокупность математических операций,
выполняемых над независимой переменной и
постоянными. Иначе говоря, определению Бернулли удовлетворяют функции, заданные
аналитически.
В конце Х1Х века на сцену
выходит новая область математики – теория множеств. Подобно тому, как всякое
здание покоится на фундаменте, современная математика строится на базе теории
множеств. Определение функции принимает такой вид: «Пусть Х и У 2 множества. Если каждому значению х из множества Х
сопоставлено единственное значение из множества у из множества У, то такая
зависимость переменной х от переменной у называется функцией из Х в У.
Множество Х называется областью определения, а множество У – областью значений
функции».
